BP网络数学推导是如何进行的？-酷北运营网

BP神经网络（Backpropagation Neural Network）是一种多层前馈神经网络，通过反向传播算法进行训练，其数学推导过程涉及多个步骤，包括前向传播、损失函数计算和反向传播，以下是详细的推导过程：

1、前向传播

输入层：输入向量 \(X = (x_1, x_2, ..., x_n)^T\)。

隐藏层：设隐藏层的输出向量为 \(Y = (y_1, y_2, ..., y_m)^T\)，权重矩阵为 \(V = [v_{ij}]\)，偏置向量为 \(\beta\)，则隐藏层的第 \(j\) 个神经元的输入为：

\alpha_j = \sum_{i=1}^n v_{ij} x_i + \beta_j

激活后输出为：

y_j = f(\alpha_j)

\(f(\cdot)\) 是激活函数，通常使用Sigmoid函数：

f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}

其导数为：

f'(x) = f(x)(1 f(x))

输出层：设输出层的输出向量为 \(O = (o_1, o_2, ..., o_l)^T\)，权重矩阵为 \(W = [w_{jk}]\)，偏置向量为 \(\theta\)，则输出层的第 \(k\) 个神经元的输入为：

\beta_k = \sum_{j=1}^m w_{jk} y_j + \theta_k

激活后输出为：

o_k = f(\beta_k)

2、损失函数

定义均方误差损失函数 \(L\)：

L = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^l (d_k o_k)^2

\(d_k\) 是真实标签，\(o_k\) 是网络输出。

3、反向传播

输出层梯度更新：对于输出层的权重 \(w_{jk}\)，其梯度为：

\frac{\partial L}{\partial w_{jk}} = -\eta \frac{\partial L}{\partial w_{jk}} = -\eta (d_k o_k) f'(\beta_k) y_j

\(\eta\) 是学习率，偏置 \(\theta_k\) 的梯度为：

\frac{\partial L}{\partial \theta_k} = -\eta (d_k o_k) f'(\beta_k)

隐藏层梯度更新：对于隐藏层的权重 \(v_{ij}\)，其梯度为：

\frac{\partial L}{\partial v_{ij}} = -\eta \sum_{k=1}^l \left[ (d_k o_k) f'(\beta_k) w_{jk} \right] f'(\alpha_j) x_i

偏置 \(\beta_j\) 的梯度为：

\frac{\partial L}{\partial \beta_j} = -\eta \sum_{k=1}^l \left[ (d_k o_k) f'(\beta_k) w_{jk} \right] f'(\alpha_j)

4、参数更新

根据梯度下降法更新权重和偏置：

w_{jk} \leftarrow w_{jk} \eta \frac{\partial L}{\partial w_{jk}}

\theta_k \leftarrow \theta_k \eta \frac{\partial L}{\partial \theta_k}

v_{ij} \leftarrow v_{ij} \eta \frac{\partial L}{\partial v_{ij}}

\beta_j \leftarrow \beta_j \eta \frac{\partial L}{\partial \beta_j}

BP网络数学推导是如何进行的？